무한차원에서의 `칼처평균` 존재가 규명됐다. 앞으로 의료와 레이더 영상 분야의 근간이 되는 데이터 평균계산법에 영향을 미칠 전망이다. 칼처평균이란 다차원 공간에 존재하는 다양체의 무게 중심을 일컫는 개념으로 3차원 영상을 비롯한 물리, 통계, 컴퓨터 등 분야에서 기하평균으로 이용된다.
25일 임용도 성균관대학교 수학과 교수는 지미 로슨 미국 루이지애나주립대 석좌교수와 공동으로 수행한 연구에서 무한차원에도 기하평균이 존재한다는 것을 발견했다. 성과는 DT-MRI, 레이더 영상, 통계물리 등에 응용할 수 있는 데이터 평균계산법을 찾는 데 중요한 역할을 할 것으로 기대된다. 칼처평균 등 다변수 기하평균의 존재를 발견하고 이론을 정립하는 문제는 1970년대 후반부터 40년 가까이 미해결 문제였다.
연구팀은 2년 전 국제학술지 매스 아날렌(Mathematische Annalen)을 통해 유한차원에서는 칼처평균이 존재하며, 이는 칼처방정식의 해와 같다는 사실을 발표한 바 있다.
이번에는 무한차원에서도 칼처방정식의 해가 존재하며, 이 유일한 해가 칼처평균이 된다는 것을 밝힘으로써 유한차원의 결과를 무한차원으로 확장했다. 무한차원은 고려해야 할 변수가 무한하기 때문에 컴퓨터 시뮬레이션과 큰수의 법칙 등 유한차원의 방법을 적용하기 어렵다. 연구팀은 톰슨기하를 이용해 무한차원에 칼처평균을 도입하는 데 성공했다. 임 교수는 “앞으로 칼처평균을 효율적으로 계산하는 방법과 확률적 접근법 분야를 선도하고 영상의학과 레이더 영상 분야에 응용할 수 있도록 연구하겠다”고 말했다.
미래부와 한국연구재단의 `중견연구자지원사업(핵심)` 등의 지원으로 수행된 이 연구의 결과는 미국립과학원회보(PNAS) 온라인판 9월 6일자에 실렸다.
류경동기자 ninano@etnews.com